Do \(0\le a,b,c\le1\)

nên\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-1\right)\left(b-1\right)\ge0\\\left(b^2-1\right)\left(c-1\right)\ge0\\\left(c^2-1\right)\left(a-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b-b-a^2+1\ge0\\b^2c-c-b^2+1\ge0\\c^2a-a-c^2+1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b\ge a^2+b-1\\b^2c\ge b^2+c-1\\c^2a\ge c^2+a-1\end{matrix}\right.\)

Ta cũng có:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\le a^2+b+b^2+c+c^2+a\)

Do đó \(T=2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\le a^2+b+b^2+c+c^2+a\)\(-\left(a^2+b-1+b^2+c-1+c^2+a-1\right)\)

\(=3\)

Vậy GTLN của T=3, đạt được chẳng hạn khi \(a=1;b=0;c=1\)

giúp mình câu hỏi này với ah.

a: Ta có: \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)

Ta có: a+b+c=0

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

b: Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)

a) \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)(đúng do a+b+c = 0)

b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow a=b=c\), mà a,b,c đôi một khác nhau => Đẳng thức không xảy ra\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2>ab+ac+bc\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc>0\)

Ta có: ​\(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)​\(\Rightarrow a+b+c=0\)( do (1))

a: Ta có: a+b+c=0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)

Ta có: a+b+c=0

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

b: Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)

ai muốn kết bn với tớ thì hãy click cho tớ nhé

3. a) Coi A = ab+1
A = 111...11(n chữ số 1) .10ⁿ + 5 .111...11(n chữ số 1) + 1
 \(A= \frac {10^n - 1} {9} + 5 \frac { 10^n -1} {9}+1 \)

\(A= \frac {10^2n - 10^n + 5.10^n -5 + 9} {9}\)

\(A =\frac {10^{2n} + 4.10^n + 4} {9}\)

\(A =\frac {(10^n + 2)^2} {3^2}\)

\(A=(\frac{10^n+2} {3}) ^2\)
Vậy A là số chính phương (vì 10ⁿ+2 chia hết cho 3)

b)Ta thấy 16 = 1.15 + 1
               1156 = 11.105 + 1
               111556 = 111.1005 + 1
...            111...1555...56(n chữ số 1,n-1 chữ số 5) = 111...1(n chữ số 1).100...05(n-1 chữ số 0) +1 (phần a)
               Vẫy các số hạng trong dãy trên đều là số chính phương

3a)(dấu * là nhân nhé)

Có ab+1

=11...1*100...05+1

=11...1*(33...35(n-1 chữ số 3)*3)+1

=33...3*33...35+1

=33...3*(33...34+1)+1

=33...3*33...34+(33...3+1)

=33...3*33...34+33...34(n-1 chữ số 3)

=33...34*(33...3+1)

=33...34*33...34(n-1 chữ số 3)

=(33...34)^2 là số chính phương

1 , 

chung minh rang : 

( n-1 ) ^ 3 < ( n - 1 ) n ( n +1 ) = n (n ^ 2 -1 ) = n ^3 -n < n^3

( viet hoi tat tu hieu nhe )

a/ \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

\(\Leftrightarrow a+b=a+c+b+c+2\sqrt{ab+ac+bc+c^2}\)

\(\Leftrightarrow-c=\sqrt{ab+ac+bc+c^2}\)

\(\Leftrightarrow c^2=ab+ac+bc+c^2\)

\(\Leftrightarrow ab+ac+bc=0\)

\(\Leftrightarrow ab=-c\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}=-c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)(đúng)

Bạn cho nhiều bài quá !

6) (n-1)^3 < (n-1)n(n+1) = n(n^2 -1) = n^3-n < n^3

Bn đăng ít thôi !!!

Nhiều quá nản lắm